勿忘草

備忘録

物理―力学その1(未完)

運動の記述

(古典)力学の目的は物がどのような力を受け、結果どのような運動をするのか?を調べることである。(多分)
なので最初は力の表し方、運動の様子の表し方から学んでいくことになる。

この世の空間はとりあえず3次元空間なので、3変数で物の位置は記述できる。

直交座標系

よくある座標系、それぞれの座標軸が直交するように軸を設定する.
座標上の点は普通に位置ベクトルを用いて\displaystyle  \boldsymbol{x}(t)=(x(t),y(t),z(t))  で表される。
速度・加速度もそのまま
\displaystyle  \boldsymbol{\dot{x}}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})
\displaystyle  \boldsymbol{\ddot{x}}=(\frac{d^2 x}{dt^2},\frac{d^2 y}{dt^2},\frac{d^2 z}{dt^2})

球面座標系

原点からの距離rと、x軸とのなす角度\phiz平面とのなす角度\thetaとで表される。
つまり、\boldsymbol{x}(t)=(r(t),\phi(t),\theta(t)である。
ロボットの腕とかアームの話で用いられるのが多い印象。他分野でもあるのかもしれんが

速度・加速度について、直交座標系では各成分を単純に微分して求めることができるが、球面座標系・円柱座標系(後述)ではそれではいけない
理由としては「座標系の単位ベクトルが時間変化してしまっているから。」
直交座標系は物体がどんな運動をしようと座標系自体は動かない。けれども、球面座標系とかは物体が動くのに合わせて半径方向だとか時々刻々と変わっていくのでその時間変化も勘定に入れなきゃいけない。

勘定の入れる方法としては「時間変化しないものと比べて、微小時間当たりどのくらい変化しているのかな?」と調べていく必要があるので、
つまりは直交座標系に変換してから各座標を時間微分して、球面座標系に戻す 面倒くさい作業を行う。

まず、直交座標系との変換は以下 \left\\{ x=r sin\theta cos\phi \\ y=r sin\theta sin\phi \\ z=r cos\theta